Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде.

После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.

Как найти координаты проекций точек

Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 3 ответа
Инструкция
1
Рассмотрите прямую, проходящую через точку A?(X?;Y?;Z?), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость A?(X?;Y?;Z?), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор.

Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z — d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как a = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X?, Y = b*t+Y? и Z = c*t+Z?. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра t?, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) — d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная t?:a?*t? + a*X? + b?*t? + b*Y? + c?*t? + c*Z? — d = 0a?*t? + b?*t? + c?*t? = d — a*X? — b*Y? — c*Z?t?*(a? + b? + c?) = d — a*X? — b*Y? — c*Z?t? = (d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)
3
Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:X? = a*t?+X? = a*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?Y? = b*t?+Y? = b*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?Z? = c*t?+Z? = c*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции.

Например, если исходная точка A? задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:X? = 3*((27 — 3*1 — (-1*2) — 2*(-1))/(3? + (-1?) + 2?)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Y? = -1*((27 — 3*1 — (-1*2) — 2*(-1))/(3? + (-1?) + 2?)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Z? = 2*((27 — 3*1 — (-1*2) — 2*(-1))/(3? + (-1?) + 2?)) + (-1) = 2*28/14 — 1 = 3Значит, координаты точки проекции A?(7;0;3).

проекции точки


Похожие статьи:

Читайте также: