Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не являются параллельными. Это понятие пространственной геометрии. Поставленная задача решается методами аналитической геометрии путем нахождения расстояния между прямыми.

При этом вычисляется длина взаимного для двух прямых перпендикуляра.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 3 ответа
Инструкция
1
Приступая к решению этой задачи, следует убедиться, что прямые действительно скрещивающиеся. Для этого используйте следующие сведения.

Две прямые в пространстве могут быть параллельными (тогда их можно разместить в одной плоскости), пересекающимися (лежат в одной плоскости) и скрещивающимися (не лежат в одной плоскости).
2
Пусть прямые L1 и L2 заданы параметрическими уравнениями (см. рис. 1а).

Здесь ? – параметр в системе уравнений прямой L2. Если прямые пересекаются, то у них есть одна точка пересечения, координаты которой достигаются в системах уравнений рисунка 1а при определенных значениях параметров t и ?. Таким образом, если система уравнений (см. рис.

1b) относительно неизвестных t и ? имеет решение, причем единственное, то прямые L1 и L2 пересекаются. Если эта система не имеет решения, то прямые являются скрещивающимися или параллельными.

Тогда для принятия решения сравните направляющие векторы прямых s1={m1,n1, p1} и s2={m2, n2 ,p2} Если прямые скрещивающиеся, то эти векторы не коллинеарные и их координаты {m1,n1, p1} и {m2, n2 ,p2} не могут быть пропорциональными.

3
После проверки приступайте к решению задачи. Ее иллюстрация – рисунок 2. Требуется найти расстояние d между скрещивающимися прямыми.

Видеоурок \


Разместите прямые в параллельных плоскостях ? и ?. Тогда искомое расстояние равно длине общего перпендикуляра к этим плоскостям. Нормаль N к плоскостям ? и ? имеет направление этого перпендикуляра.

Возьмите на каждой прямой по точке M1 и М2. Расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора M2M1 на направление N. Для направляющих векторов прямых L1 и L2 при этом справедливо, что s1||?, а s2||?.

Поэтому вектор N ищете как векторное произведение [s1, s2]. Теперь вспомните правила нахождения векторного произведения и вычисления длины проекции в координатной форме и можете приступать к решению конкретных задач. При этом придерживайтесь следующего плана.

4
Условие задачи начинается заданием уравнений прямых. Как правило, это канонические уравнения (если нет – приведите их к каноническому виду).

L1: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1=(z-z1)/p1; L2: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2=(z-z2)/p2. Возьмите М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и найдите вектор M2M1={x1-x2, y1-y2, z1-z2}. Запишите векторы s1={m1, n1, p1}, s2={m2, n2, p2}. Нормаль N найдите как векторное произведение s1 и s2, N=[s1, s2].

Получив N={A, B,C}, искомое расстояние d найдите как абсолютную величину проекции вектора M2M1 на направление N.d=|Пр(N) M2M1=(A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2))/v(A^2+B^2+C^2).

Похожие статьи:

Читайте также: