Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве

В аналитической геометрии положение множества точек, принадлежащих прямой линии в пространстве, описывается уравнением. Для любой точки пространства относительно этой линии можно определить параметр, который называется отклонением.

Если он равен нулю, значит, точка лежит на линии, а любое другое значение отклонения, взятое по модулю, определяет кратчайшее расстояние между прямой и точкой. Рассчитать его можно, если известно уравнение линии и координаты точки.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве

Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 3 ответа
Инструкция
1
Для решения задачи в общем виде обозначьте координаты точки как A?(X?;Y?;Z?), координаты ближайшей к ней точки на рассматриваемой прямой — как A?(X?;Y?;Z?), а уравнение прямой запишите в таком виде: a*X + b*Y + c*Z — d = 0. Вам нужно определить длину отрезка A?A?, который лежит на линии, перпендикулярной по отношению к описываемой уравнением. Перпендикулярный («нормальный») направляющий вектор a = {a;b;c} поможет составить канонические уравнения проходящей через точки A? и A? прямой: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2
Запишите канонические уравнения в параметрической форме (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? и Z = c*t+Z?) и найдите значение параметра t?, при котором исходная и перпендикулярная к ней прямые пересекаются. Для этого подставьте параметрические выражения в уравнение исходной прямой: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) — d = 0. Затем выразите из равенства параметр t?: t? = (d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?).

3
Подставьте полученное на предыдущем шаге значение t? в определяющие координаты точки A? параметрические уравнения: X? = a*t?+X? = a*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? и Z? = c*t?+Z? = c*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Теперь у вас есть координаты двух точек, осталось рассчитать определяемое ими расстояние (L).

Видеоурок \


4
Для получения численного значения расстояния между точкой с известными координатами и прямой, задаваемой известным уравнением, рассчитайте численные значения координат точки A?(X?;Y?;Z?) по формулам из предыдущего шага и подставьте значения в эту формулу:L = (a*(X? — X?) + b*(Y? — Y?) + c*(Z? — Z?)) / (a? + b? + c?)Если же и результат надо получить в общем виде, он будет описываться довольно громоздким уравнением. Замените величины проекций точки A? на три координатные оси равенствами из предыдущего шага и упростите насколько возможно полученное равенство:L = (a*(X? — X?) + b*(Y? — Y?) + c*(Z? — Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(X? — a*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?) + b*(Y? — b*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c*(Z? — c*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? — a*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?))) + b*(2*Y? — b*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c*(2*Z? — c*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c?) = (2*a*X? — a?*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b*Y? — b?*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? — c?*((d — a*X? — b*Y? — c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)
5
Если значение имеет только численный результат, а ход решения задачи не важен, воспользуйтесь онлайн-калькулятором, который предназначен именно для расчета расстояния между точкой и прямой в ортогональной системе координат трехмерного пространства — http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_line.

Здесь вы можете поместить в соответствующие поля координаты точки, ввести уравнение прямой в параметрическом или каноническом виде, а затем получить ответ, щелкнув по кнопке «Найти расстояние от точки до прямой».

Похожие статьи:

Читайте также: