Как найти точки перегиба функции

Чтобы найти точки перегиба функции, нужно определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот. Алгоритм поиска связан с вычислением второй производной и анализом ее поведения в окрестности некоторой точки.

Точки перегиба


Как найти точки перегиба функции

Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 3 ответа
Инструкция
1
Точки перегиба функции должны принадлежать области ее определения, которую нужно найти в первую очередь. График функции – это линия, которая может быть непрерывной или иметь разрывы, монотонно убывать или возрастать, иметь минимальные или максимальные точки (асимптоты), быть выпуклой или вогнутой.

Резкая смена двух последних состояний и называется перегибом.
2
Необходимое условие существования точек перегиба функции состоит в равенстве второй производной нулю.

Таким образом, дважды продифференцировав функцию и приравняв получившееся выражение нулю, можно найти абсциссы возможных точек перегиба.
3
Это условие следует из определения свойств выпуклости и вогнутости графика функции, т.е. отрицательному и положительному значению второй производной.

В точке перегиба происходит резкая смена этих свойств, значит, производная переходит нулевую отметку. Однако равенства нулю еще недостаточно для того, чтобы обозначить перегиб.

4
Существует два достаточных признака того, что найденная на предыдущем этапе абсцисса принадлежит точке перегиба:Через эту точку можно провести касательную к графику функции. Вторая производная имеет разные знаки справа и слева от предполагаемой точки перегиба.

Таким образом, ее существование в самой точке необязательно, достаточно определить, что в ней она меняет знак.Вторая производная функции равна нулю, а третья – нет.
5
Первое достаточное условие является универсальным и применяется чаще других.

Рассмотрим иллюстрирующий пример: у = (3•х + 3)• ?(х — 5).
6
Решение.Найдите область определения. В данном случае ограничений нет, следовательно, ею является все пространство действительных чисел. Вычислите первую производную:у’ = 3•?(х — 5) + (3•х + 3)/?(х — 5)?.

7
Обратите внимание на появление дроби. Из него следует, что область определения производной ограничена. Точка х = 5 является выколотой, а значит, через нее может проходить касательная, что отчасти соответствует первому признаку достаточности перегиба.

8
Определите односторонние пределы для получившегося выражения при х 5 – 0 и х 5 + 0. Они равны -? и +?. Вы доказали, что через точку х=5 проходит вертикальная касательная.

Эта точка может оказаться точкой перегиба, но сначала вычислите вторую производную:У’’ = 1/?(х — 5)? + 3/?(х — 5)? – 2/3•(3•х + 3)/?(х — 5)^5 = (2•х – 22)/?(х — 5)^5.
9
Опустите знаменатель, поскольку точку х = 5 вы уже учли.

Решите уравнение 2•х – 22 = 0. Оно имеет единственный корень х = 11.Последний этап – подтверждение того, что точки х = 5 и х = 11 являются точками перегиба. Проанализируйте поведение второй производной в их окрестностях.

Очевидно, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – наоборот. Вывод: обе точки являются точками перегиба.

Выполнено первое достаточное условие.

Похожие статьи:

Читайте также: